RSS
Taut
28 Des
  1. A.   PSEUDOMETRI

Definisi

Pseudometri dari suatu himpunan X adalah fungsi , ada himpunan bilangan real, sedemikian hingga:

(i)            ≥ 0 untuk semua ϵ X x X

(ii)         = 0 untuk semua  ϵ X

(iii)         untuk semua ϵ X x X

(iv)        ≤  +  untuk semua di X

Contoh 1

(a)          Suatu fungsi   didefinisikan  dengan  dan  bilangan real merupakan suatu pseudometri dan disebut pseudometri untuk himpunan bilangan real.

Bukti:

(i)        Ambil , sehingga

(ii)      Ambil , berarti atau  sehingga

Jadi terbukti  untuk semua

(iii)    Ambil  akan dibuktikan

 

 

 

 

 

 

(iv)    Ambil  akan dibuktikan  ≤  +

 

 

 

 

Dari pembuktian (i) – (iv) terbukti bahwa  adalah pseudometri.

(b)         Jika X suatu bidang untuk  dan  di X, didefinisikan  menjadi jarak bidang Euclid biasa di antara p dan q:

=

Maka d adalah pseudometri yang disebut pseudometri biasa untuk suatu bidang.

Kita mungkin berpikir bahwa bidang sebagai himpunan dari seluruh bilangan kompleks , dengan modulus atau panjang dari z ditentukan oleh

│z│= . Dalam kasus ini, pseudometri ditentukan oleh

Jika X adalah suatu bidang. Untuk  dan  di X, p didefinisikan sebagai:

Maka ρ adalah sebuah pseudometri.

(c)          Misalkan X sebarang himpunan dan  berlaku untuk semua  di X. Sehingga adalah pseudometri. Pseudometri yang seperti ini disebut pseudometri trivial.

(d)         Misalkan X sebuah himpunan, dan d didefinisikan sebagai 1 jika dan

Sehingga  adalah pseudometri. Pseudometri seperti ini disebut pseudometri diskrit.

Definisi

Sebuah himpunan X dengan pseudometri d disebut ruang pseudometri.

Titik Limit

,  titik limit dari A jika dan hanya jika

A merupakan suatu interval. Carilah titik limit dari A = [0,1] !

Untuk A = [0,1]

  • Ø Ambil x0 = 0

 

Misalkan  , maka V1/2 (0)

 

 

 

 

 

x0 –  < y < x0 +

0 – ½ < y < 0 + ½

-½ < y < ½

( -½ , ½ )   [ 0 , 1 ] – {0}

[ 0, ½ ) – {0}= [ 0 , ½ ) ≠

Jadi, x0 = 0 merupakan titik limit

  • Ø Ambil x0 = 1

 

Misalkan  , maka V1/4 (1)

 

 

 

 

x0 –  < y < x0 +

1 – ¼  < y < 1 + ¼

¾ < y <

( ¾ ,  )   [ 0 , 1 ] – {1}

[ ¾ , 1 ) – {1}= [ ¾ , 1 ) ≠

Jadi, x0 = 1 merupakan titik limit

 

Ruang pseudometri terdiri dari dua elemen, yaitu sebuah himpunan dan sebuah pseudometri lain pada suatu himpunan.

Definisi ruang pseudometri

Jika (X, ) merupakan suatu ruang pseudometri . Jika S subset dari X, sebuah titik p di X adalah titik limit  pada S jika untuk setiap  > 0, dimana pada S terdapat titik  sedemikian sehingga

Contoh 2

Jika S himpunan bilangan real, dan S X merupakan interval

Jika    adalah pseudometri, setiap titik pada interval  adalah titik limit d pada S dan tidak lain titik-titik pada S adalah titik limit d pada S.

Teorema 1

Jika (X, ) merupakan suatu ruang pseudometri  dan S subset dari X. Maka d-penutupan pada S diperoleh dari cl(S) = {  : diberikan  > 0, terdapat s di S dengan }.

Definisi

Jika titik  berada di ruang pseudometri  (X, ) dan jika r bilangan real positif. Himpunan disebut – cell dengan jari-jari r yang berpusat di .

Postulat 1

Jika (X, ) ruang pseudometri  dan S X. Titik p adalah titik batas d pada S jika dan hanya jika setiap -cell yang berpusat di  bertemu S di titik lain selain  dan  anggota d-penutupan pada S jika dan hanya jika setiap -cell yang berpusat di  bertemu S.

Bukti:

Ini hanya pernyataan kembali, menggunakan istilah cell , dari definisi titik batas (limit) dan Teorema 1.
Definisi

Jika X suatu himpunan dan jika  dan  merupakan pseudometri di X. Jika untuk setiap S subset X, himpunan asal  sama dengan  himpunan asal  pada S, maka  dan  disebut pseudometri ekuivalen.

Contoh 3

Pseudometri  dan ρ pada contoh 1(b) dan 1(c) ekuivalen. Untuk membuktikannya, andaikan  titik batas d pada himpunan S, dan jika  > 0. Maka s di S tidak sama dengan , dengan . Tetapi sekarang andaikan  titik batas ρ pada himpunan S dan jika ϵ > 0. Maka s di S tidak sama dengan , dengan ρ . Ketika memiliki , membuat  menjadi titik batas pada S.

  1. B.   Himpunan Terbuka dalam R

Himpunan  dimana

Untuk setiap dan

Contoh 1

  apakah terbuka….???

 

0

1

 

 

 

   terbuka karena

Contoh 2

  apakah terbuka….???

 

0

1

 

 

 

  tidak  terbuka karena

Contoh 3

Subset-subset tak hingga dari R berikut adalah himpunan terbuka:

{  > a } = ( a , ∞ )

{  < a } = ( – ∞ , a )

{ = a } = ( – ∞ , ∞ )

Interval tertutup tak hingga berikut adalah subset dari R yang merupakan himpunan tidak terbuka :

{  a } = ( a , ∞ )

{  a } = ( – ∞ , a ) , karena a ϵ R bukan titik interior dari  (a,∞) atau dari (- ∞,a).

Teorema 1

Gabungan dari beberapa himpunan terbuka di dalam R adalah terbuka.

Teorema 2

Irisan terhingga dari himpunan-himpunan terbuka di dalam R adalah terbuka.

Contoh 4

Perhatikanlah kelas dari interval-interval terbuka:

 

Maka irisan  An = {0}

Yaitu interval terbuka yang memuat titik tunggal 0 yang bukan himpunan terbuka. Dengan kata lain, sebarang irisan dari himpunan-himpunan terbuka tidak perlu terbuka.

  1. C.   Himpunan Tertutup dalam R

Suatu himpunan bagian A dari R adalah himpunan tertutup jika dan hanya jika komplemen AC adalah himpunan terbuka.

Suatu himpunan tertutup dapat pula dinyatakan dengan titik kumpul sebagaimana teorema 3 berikut :

Teorema 3

Suatu himpunan terbuka A dari R adalah terttutup jika dan hanya jika A memuat semua titik kumpul dari A.

Contoh 1

Interval terbuka [a,b] adalah suatu himpunan tertutup, karena komplemen dari [a,b] adalah     ( – ∞ , a )  ( b , ∞ ) adalah gabungan dua interval terbuka tak hingga yang merupakan himpunan terbuka.

Contoh 2

Himpunan A = { 1 ,  ,  ,  , . . .} adalah tidak tertutup, karena 0 adalah titik kumpul dari A dan 0  A.

Contoh 3

Himpunan kosong  dan himpunan semua bilangan real R adalah himpunan-himpunan tertutup, karena C = R dan RC =  masing-masing merupakan himpunan-himpunan terbuka.

Contoh 4

Perhatikan interval buka tutup A = (a,b]

A tidak terbuka, karena b ϵ A bukan titik interior dari A, dan A tidak tertutup karena a  A bukan titik kumpul dari A.

Contoh 5

Buktikan setiap himpunan bilangan real yang banyak anggotanya terhingga selalu merupakan himpunan tertutup!

Bukti :

Ambil sembarang himpunan R yang anggotanya terhingga.

Misal :  dengan

Akan dibuktikan A merupakan himpunan tertutup.

Karena  maka

 

Karena   merupakan himpunan terbuka,

Maka  terbuka sehingga A tertutup.

 

 

Referensi

Wahyudin, Drs. M.Pd. 1987. Dasar-Dasar Topologi. Tarsito : Bandung

Kartono, dkk. 1995 Pengantar Topologi. Andi Offset: Yogyakarta.

About these ads
 
Tinggalkan komentar

Ditulis oleh pada Desember 28, 2012 in Uncategorized

 

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

 
Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: