RSS
Taut
28 Des

INTERIOR, EXTERIOR AND BOUNDARY

A.  Interior Suatu Himpunan

Definisi 5.1.1.      

Diberikan ( X, ) adalah ruang topologi pada X dan . Suatu titik x  dinamakan suatu titik interior dari himpunan A jika x menjadi anggota dari himpunan terbuka G yang termuat di dalam A : yaitu x  G  A, dimana G terbuka.

Pandang Gx adalah himpuanan terbuka pada ruang topologi ( X, ) yang memuat x dan . x adalah titik interior dari A jika dan hanya jika terdapat Gx sedemikian hingga Gx  A. himpunan semua titik interior dari A dinamakan interior dari A, yang diberi notasi “int (A)”. Dengan demikian interior dari A merupakan gabungan (union) dai semua himpunan bagian daru A yang terbuka.

Yang berarti : int (A) =

Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut :

Pandang {Gi} adalah kelas di semua himpunan bagian dari A yang terbuka. Jika x  int (A) maka terdapat himpunan bagian dari A yang terbuka, katakan Gi0 , sedemikian sehingga x  Gi0.

Yang berarti bahwa

Dari sini berarti bahwa int (A) ……………………………………………..i)

Sebaliknya jika y  maka terdapat himpunan bagian dari A yang terbuka, katakan Gi0 sedemikian hingga y Gi0

Yang berarti bahwa y  int(A)

Dari sini berarti belum  int (A)………………………………………………ii)

Dari i) dan ii) disimpulkan bahwa : int (A) =

Pada ruang topologi usual dari himpunan bilangan riil R, maka

i.            Int ([a,b)) = (a,b)

ii.            Int ((a,b]) = (a,b)

iii.            Int ([a,b]) = (a,b)

 

 

Penjelasannya sebagai berikut :

i.            A [a,b)

 

 

 

 

 

Titik a bukan titik interior dari A, karena tidak dapat ditemukan Ga sedemikian hingga Ga   A. sedemikain juga untuk b, karena tidak dapat ditemukan Gb sedemikian hingga Gb   A.

Jadi int ([a,b)) = (a,b)

 

 

 

 

 

ii.            B (a,b]

 

 

 

 

 

Titik a bukan titik interior dari B, karena tidak dapat ditemukan Ga sedemikian hingga Ga   B. Sedemikain juga untuk b, karena tidak dapat ditemukan Gb sedemikian hingga Gb   B.

Jadi int ((a,b]) = (a,b)

 

 

 

 

iii.            C [a,b]

 

 

 

 

Titik a bukan titik interior dari C, karena tidak dapat ditemukan Ga sedemikian hingga Ga   C. sedemikain juga untuk b, karena tidak dapat ditemukan Gb sedemikian hingga Gb   C.

Jadi int ([a,b]) = (a,b)

 

 

Contoh 1 :

Diketahui empat interval [a,b], (a,b), (a,b], dan [a,b) dimana a dan b adalah titik-titik akhir. Maka interior dari ke-4 interval tersebut adalah (a,b)

Contoh 2 :

topologi  pada X = {a,b,c,d,e} dan A = {b,c,d}  X. c dan d titik interior dari A, karena c,d   {c,d} A, dan {c,d} himpunan terbuka.

Contoh 3 :

Misalnya X = {a,b,c,d,e}.

Diberikan

Maka      int ({a}) = {a}

Int ({a,b}) = {a}

Int ({a,c,d}) = {a,c,d}

Teorema 5.1.1

Pandang A dan B dua himpunan sebarang dalam ruang topologi (X,). Maka berlaku :

1)      Int (A) adalah himpunan terbuka terbesar yang termuat dalam A. Jadi int (A) A

2)      A terbuka  A = int (A)

3)      Int () =  dan   int(X) = X

4)      B

5)      Int (int(A)) = int (A)

6)      Int () = int (A)  int (B)

7)      Int (A)  int (B)  int (AB )

Bukti :

1)      Menurut definisi interior, maka int (A) adalah terbuka. Pandang {Gi} i   I adalah klas dari semua himpunan terbuka dalam X, dan Gi  A.

Maka int (A) = Gi   A

Karena int (A) adalah terbuka dan int (A)  A maka terdapat suatu Gi0  sedemikian sehingga Gi0 = int (A). misalkan Gj0 himpunan terbuka terbesar yang termuat di dalam A.

Maka int (A)  Gj0  A

Tetapi karena Gj0  Gi   maka Gj0  int(A)  A

Jadi Gj0 = int (A)

Sehingga bila terdapat himpunan terbuka yang lain yang termuat dalam A maka pasti termuat pada int (A)

Jadi int (A)  A

 

2)      ()

Jika A terbuka maka A  int (A)

Sesuai dengan teorema diatas yaitu int (A)  A

Dengan demikian berarti bahwa jika A adalah terbuka maka A  int (A)  A

Dari sini berarti bahwa A = int (A)

(←)

Karena int (A) adalah terbuka dan A = int (A) maka A adalah terbuka.

 

3)      Menurut teorema di atas yaitu A = int (A)

Maka,  terbuka ↔  int () =

Jika X terbuka ↔ int (X) = X

4)      Pandang Gi adalah kelas dai semua himpuanan terbuka dalam X dan Gi  A

Maka int (A) =  Gi

Karena int (B) adalah terbuka dan int (B)  B  A maka terdapat indeks k sedemikian sehingga Gk  = int (B)

Yang berarti bahwa int A =  Gk  Gi = int (B)

Dari sini terbukti bahwa int (B)  int (A)

 

5)      Menurut teorema no. 2 yaitu A = int (A)

Dan karena int (A) terbuka maka Int (int(A)) = int (A)

 

6)      Karena A  A  B dan A  B  B

Menurut teorema 5.1.1.4 maka int (A B)  int (A) dan int (A B)  int (B)

Dari sini diperoleh int (A B)  int (A)  int (B)………………………i)

Selanjutnya karena int (A)  int (B) adalah himpunan terbuka yang termuat di dalam A  B

Menurut teorema 5.1.1.1, maka

Int (A)  int (B)   Int (A B)……………………………………………ii)

Dari i) dan ii) disimpulkan bahwa int (A B) = Int (A)  int (B)

 

7)      Karena A  B  A maka int (A)  int (A  B)

Karena  A  B   B maka int (B) int (A  B)

Dari sini berarti bahwa

int (A)  int (B)  int (A  B)

 

  1. B.  Exterior

Definisi 5.3.1

Exterior suatu himpuanan A dalam ruang topologi ( X, ) yang diberi notasi “ext (A)” adalah interior dari komplemen A.

Jadi ext (A) = ext (Ac)

Selanjutnya pandang Gx adala himpunan terbuka pada ruang topologi ( X, ) yang memuat x dan A  X

X adalah titik exterior dari A jika dan hanya jika ada Gx sedemikian hingga Gx  Ac

Contoh 5.3.1

Diberikan

Adalah suau topologi pada X = {a,b,c,d,e}

i.            Ambil A = {b,c,d}

Sehingga Ac = {a,e}

Int (Ac) = int ({a,e}) = {a}

Jadi ext (A) = {a}

 

ii.            Ambil  B = {a}

Sehingga Bc = {b,c,d,e}

Int (Bc)      =  int ({b,c,d,e})

= {c,d}  {b,c,d,e}

= {b,c,d,e}

Jadi ext (B) = {b,c,d,e}

 

 

 

C. BOUNDARY (BATAS)

Definisi 5.3.2

Boundary dari suatu himpunan A dalam ruang topologi (X,τ), yang diberi notasi “b(A)” adalah himpunan dari semua titik yang bukan anggota dari interior A atau eksterior dari A.

Jadi b(A)         = (int (A)  ext (A))c.

=(int (A))c  (ext (A))c.

Contoh 5.3.2

  1. Pada contoh 5.3.1.1.i.

Int (A)= {c,d}, maka (int (A))c = {a,b,e}

Ext (A)={a}, maka (ext (A))c = {b,c,d,e}

Jadi b(A)=(int (A))c   (ext (A))c

={a,b,c}   {b,c,d,e}

={b,e}

  1. Pandang ruang topologi usual U pada garis bilangan riil R.

Diberikan A={x| a ≤ x < b, a < b ,a, b elemen R}

= {a,b}

 

 

 

 

 

Sesuai contoh 5.1.1.i.,diperoleh bahwa int (A)= (a,b), yang berarti (int(A))c ={x|x≤a dan x≥b,a,b elemen R} sekarang

ext (A) = int (Ac)= {x|x<a dan x>b , a<b , a,b elemen R} sehingga

(ext (A))c = {x|a≤x≤b , a<b, a,b elemen R} dengan demikian didapat

b(A)= (int (A))c n (ext (A))c = {a,b}

 

Teorema 5.3.1

Diberikan (X,τ) adalah ruang topologi pada X dan A с X, B с X.

Maka berlaku  :

  1. Int (A) = ext (Ac)
  2.  b(A) n int (A) =Φ
  3. b(A) n ext (A) =Φ
  4. int(A) n ext (A) =Φ
  5. Ā= int (A) u b(A)
  6. b(Ac)= b(A)
  7. b(Ā)= Ā n (Āc)
  8. b(A u B) с  b(A) u b (B)

BUKTI :

1. jelas dari definisi 5.3.1 peran A digantikan oleh Ac

dari sini diperoleh ; ext (Ac)    = int ((ac)c)

=int (A)

2. karena menurut definisi 5.3.2. yaitu bahwa

b(A)     = (int (A) u ext (A))c

= (int (A))c n (ext (A))c

Maka b(A) n int (A)    = (int (A))c n (ext (A))c n int (A)

= (int (A))c n int (A) n (ext (A))c

=Φ n (ext (A))c

3. demikian juga untuk :

b(A) n ext (A) = (int (A))c n (ext (A))c n ext (A)

= (int (A))c n Φ

4. karena menurut definisi 5.3.1 bahwa ext (A)= int (Ac)

maka int (A) n ext (A) = int (A) n int (Ac)

= int (A n Ac)

=int (Φ)

Dari teorema ini, jelas bahwa int (A), ext (A) dan b(A) adalah saking asing. Dengan demikian diperoleh bahwa X= int (A) u ext (A) u b(A).

5.   Karena X= int (A) u ext (A) u b(A) maka

(int (A) u b(A))c = ext (A)

Untuk membuktikan bahwa Ā= int (A) u b(A)

Cukup dibuktikan bahwa (Ā)c = ext (A)

Ambil x anggota ext (A) maka terdapat himpunan terbuka Gk

Sedemikian hingga x anggota Gk с Ac

Yang berarti bahwa Gk n A= Φ

Sehingga x bukan suatu titik limit dari A

Yang berarti bahwa x bukan anggota Ad dan x bukan anggota A

Dari sini berarti bahwa x bukan anggota Ad u A

Karena Ad u A=Ā maka x bukan anggota Ā

Dengan perkataan lain ext (A) с (Ā)c………………………………….i

Dari 1 dan 2,3,4 disimpulkan bahwa (Ā)c = ext (A)

Karena (int (A) u b(A))c = ext (A)

= (Ā)c

Maka terbukti bahwa Ā= int (A) u b(A).

5. menurut definisi 5.3.2,

Bahwa b(A)= (int (A) u ext (A))c

Maka b(Ac)= (inf (Ac) u ext (Ac))c

Mengingat definsi 5.3.1 dan teorema 5.3.1.1 maka

b(Ac)= (ext (A) u int (A))c

=b(A)

Terbukti bahwa b(Ac)= b(A)

6. karena (ext (Ac))c = Ā dan ext (A) = int (Ac)  maka

Ā=(int (Ac))c

Akibatnya Ā =((int (Ac))c)c)

= (int (A))c

Jadi Ā n Āc = (ext (A))c n (int (A))c

= (ext (A) u int (A))c

= b(A)

Terbukti bahwa Ā n Āc = b(A)

7. dari teorema 5.3.1.5 berarti bahwa

b(A u B)=  n

=( u ) n

Karena menurut teorema 3.2.1.7,   𝗇

Maka   𝗇

Sehingga ( u ) n    u  n   𝗇

=   𝗇  u  n  𝗇    u  𝗇

= b(A) u b(B)

Dengan demikian b(A u B)  b(A) u b(B)

Contoh 5.3.3

Diberikan τ= {Φ, X,{a},{c,d},{a,c,d},{b,c,d,e}} adalah suatu topologi pada X= {a,b,c,d,e}

Ambil A = {b,c,d}

Maka Ac = (a,e}

  1. int (A) = int ({b,c,d})= {c,d}

ext (Ac) = ext ({a,e}) = int ({b,c,d}) = {c,d}

jadi int (A)= ext (Ac)

  1. = X n {b,c,d,e} = {b,c,d,e}

= {a}, ext (A)= {a}

Jadi = ext (A)

  1. Sesuai contoh 5.3.2.1. , b (A) = {b,e}

Selanjutnya int (Ac) = {a}

ext {Ac}= ext ({a,e})

= {c,d}

b(Ac) = ( int (Ac)  ext (Ac) )c

= ( {a} {c,d})c

= ( {a,c,d} )c

= {b,e}

= b (A)

4. Āc = X  {a,b,e}

= {a, b, e}

Ā = X  {b,c,d,e}

= {b,c,d,e}

Sehingga Ā  Āc = {b,c,d,e}  {a,b,e}

= {b,e}

= b (A)

5. Bila A = {b,c,d} maka b (A) = {b,e}

Bila B ={a,b,e} maka b (B) = ( int (B)  ext (B))c

= ( {a}  {c,d} )c

= ( {a,c,d}) c

Selanjutnya A  B = X

b (X) = ( int (X)  ext (X))c

= (X   )c

= Xc

=

Dari sini jelas b (A  B)  b (A)  b (B).

Tetapi kadang-kadang bisa terjadi b ( A  B ) = b (A)  b (B).

Misalnya A ={b,c,d}maka b (A) = {b,c}. B = {a,b} maka;

b (B) = (int (B)  ext (B))c

= ({a} {c,d})c

= {b,e}

A  B = {a,b,c,d} maka b ( A B) = (int (AB)  ext (AB))c

= ({a,c,d}  )c

= {b,e}

Terlihat bahwa b (AB) = b (A) b (B).

Definisi 5.3.3.

Diberikan (X, ) adalah topologi pada X dan A  X.

Titik boundary yang merupakan anggota dari A dinamakan titik frontier dari A.

Himpunan dari semua titik-titik frontier dari A dinamakan frontier dari A, ditulis Fr (A).

Dari definisi dapat dikatakan bahwa b(A) terdiri dari titik boundary yang merupakan anggota dari A beserta titik boundary yang bukan anggota dari A.

Contoh 5.3.4.

1. pandang topologi usual pada garis bilangan riil R.

Dari sini

int (A) = {x | a < x < b, b < x < c}

ext (A) = { x | x < a, x > c}

b (A) = {a,b,c} dan d bukan elemen b(A)

Fr (A) = {c}

Fr (Ac) = {a,b}.

2. pada contoh 5.3.2.1.

Diambil A={b,c,d} maka b(A) = {b,e}.

Dari Fr (A) = {b}

Fr (Ac) = {e}.

Terlihat bahwa b(A) = Fr (A)  Fr (Ac).

 
Tinggalkan komentar

Ditulis oleh pada Desember 28, 2012 in Uncategorized

 

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

 
%d blogger menyukai ini: