RSS
Taut
28 Des

PEMBAHASAN

          Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya “tempat” dan logos yang artinya “ilmu”. Topologi merupakan cabang matematika yang bersangkutan dengan tata ruang. Kata topologi digunakan baik untuk cabang matematika dan untuk keluarga himpunan dengan beberapa sifat yang digunakan untuk menentukan ruang topologi, objek dasar dari topologi.

Materi topologi merupakan lanjutan dari materi-materi yang sebelumnya telah dipelajari di struktur aljabar dan analisis real. Untuk itu, jangan heran kalau pembahasan kali ini memiliki konsep dan keabstrakan yang sama dengan materi sebelumnya.

          Pada bagian ini, kami akan menjelaskan sebagian kecil yang termasuk kedalam  pembahasan topologi, yaitu tentang bilangan real dan bilangan bulat (integers and real numbers), kardinalitas himpunan (cardinality of sets), relasi terurut (order relations), dan lemma zorn (zorn’s lemma).

  1. A.    Kardinalitas Himpunan (cardinalitas set)
  2. 1.    Himpunan  equivalen

Definisi :Himpunan A dan B dikatakan sama (equivalen) jika ada fungsi f yang memetakan himpunan A tepat satu atau korespondensi satu –satu dengan himpunan B.

Contoh : Misalkan N = { 1,2,3,…} dan M = { 2,4,6,…}

Fungsi F : N → M yang didefinisikan oleh f(x) = 2x yang berkorespondensi satu – satu. Maka N equivalend dengan M.

  1. 2.         Pengertian Kardinalitas

Kardinalitas dari sebuah himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya elemen yang dikandung oleh himpunan tersebut. Banyaknya elemen himpunan {apel,jeruk,mangga,pisang} adalah 4. Himpunan {p,q,r,s} juga memiliki elemen sejumlah 4. Berarti kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama lain. Karena terdapat fungsi satu-satu yang memetakan A dengan B, sehingga bisa dikatakan kedua himpunan memiliki kardinalitas yang sama.

 

 

  1. 3.         Konsep Kardinalitas

Bila A equivalen dengan B, yaitu A ~ B, maka dapat dikatakan bahwa A dan B mempunyai bilangan kardinal yang sama atau kardinalitasnya sama. Untuk menyatakan bilangan kardinal dari A bisa  ditulis “# (A)”. Jadi # (A) = # (B) jika dan hanya jika A ~ B. bila A < B, maka kita katakan A mempunyai kardinalitas lebih kecil dari B atau kardinalitas B lebih besar dari A, dengan kata lain :

  • # (A) < # (B) bila dan hanya bila A < B    dan,
  • ,# (A) ≤ # (B) bila dan hanya bila A ≤ B
  1. 4.         Himpunan Denumerabel

Jika sebuah himpunan equivalen dengan himpunan , yaitu himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut disebut denumerabel. Kardinalitas dari himpunan tersebut disebut sebagai kardinalitas .

Contoh : Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, karena memiliki korespondensi satu-satu antara himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli, yang dinyatakan oleh 2n, sehingga A = {2, 4, 6, 8, …}.

  1. 5.         Himpunan Berhingga

Jika sebuah himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas , maka himpunan tersebut adalah himpunan berhingga.

  1. 6.         Himpunan Tercacah

Himpunan disebut tercacah jika himpunan tersebut adalah berhingga atau denumerabel.

  1. 7.         Himpunan Non-Denumerabel

Himpunan yang tidak tercacah disebut himpunan non-denumerabel. Contoh dari himpunan ini adalah himpunan semua bilangan riil. Kardinalitas dari himpunan jenis ini disebut sebagai kardinalitas . Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1) juga memiliki kardinalitas , karena terdapat korespondensi satu-satu dari himpunan tersebut dengan himpunan seluruh bilangan riil.

  1. B.        Relasi terurut (Order Relation)

Definisi :Suatu relasi biner dinamakan sebagai suatu relasi pengurutan tak lengkap atau relasi pengurutan parsial ( partial ordering relation ) jika ia bersifat reflexive, antisymmetric, dan transitive.

 

Pengurutan  parsial paling terkenal adalah relasi £ dan ³ pada himpunan Z dan R. Untuk alasan ini, ketika berbicara secara umum tentang sebuah pengurutan parsial R pada himpunan A kita akan sering menggunakan symbol £ atau ³ untuk R. Dengan kata lain, Relasi  dalam himpunan A disebut terurut parsial pada himpunan A bila dan hanya bila untuk setiap a, b, c  A adalah:

  • bersifat relasi reflektif bila dan hanya bila memenuhi sifat a  a
  • bersifat relasi anti-simetri bila dan hanya bila memenuhi sifat” Bila  a b dan b  a maka a = b.
  • bersifat relasi  transitif bila dan hanya bila memenuhi sifat “Bila a b dan b  c maka a  c.

Himpunan A dengan terurut parsial dilambangkan dengan (A, )

Contoh :

  1. Himpunan Z+ adalah himpunan bilangan bulat positif. Relasi £ (kurang atau sama dengan) adalah sebuah parsial order pada Z+ . Hal ini berlaku pula untuk relasi ³.

Jawab : Bila (a,b) ada didalam R jika a £ b.

  • Karena setiap bilangan bulat = dirinya sendiri à refleksive
  • Karena a £ b dan b £ a kecuali a = b à antisymmetri
  • Jika a £ b dan b £ c maka a £ c à transitive.
  1. Relasi himpunan bagian  adalah terurut parsial didalam suatu kelas dari himpunan-himpunan, karena
  • A  A untuk sebarang A à refleksive
  • Bila A  B dan B  A, maka A = B à antisymmetris
  • Bila A  B dan B  C, maka A  C à transitive.

Bila a  b didalam himpunan terurut, maka dikatakan bahwa a pendahulu atau lebih kecil dari b, dan b disebut pengikut atau penguasa atau lebih besar dari a. a < b, bila a  b tetapi ab.

Suatu himpunan terurut bagian A disebut terurut total (terurut linear) bila setiap a, b  A maka a  b atau b  a. Contohnya adalah himpunan bilangan real R dengan urutan natural x  y.

Bila suatu relasi R dalam himpunan A adalah terurut parsial, maka relasi invers  juga terurut parsial dan disebut urutan invers.

  1. 1.       Himpunan Bagian dari Himpunan Terurut.

Misal A adalah himpunan bagian dari himpunan terurut parsial X, maka di dalam X, A adalah terurut dengan ketentuan:

  • Bila a, b  A maka a b sebagai unsur-unsur dalam A bila dan hanya bila a  b sebagai unsur-unsur di dalam X.
  • Bila R terurut parsial dalam X, maka relasi , disebut restriksi R pada A adalah terurut parsial dalam A. Himpunan terurut  disebut himpunan bagian dari himpunan terurut (X, R).

Contoh :

Misal terurut parsial dalam W = {a, b. c, d, e} didefinisikan oleh diagram berikut:

 

 

 

 

 

 

Himpunan-himpunan {a, c, d} dan {b, e} adalah himpunan-himpunan bagian terurut total.

Himpunan-himpunan {a, b, c} dan {d, e} bukan himpunan-himpunan bagian terurut total.

  1. 2.         Elemen Pertama dan Terakhir

Misal X adalah himpunan terurut. Suatu elemen a  X adalah elemen pertama atau elemen terkecil dari X bila dan hanya bila a  x, untuk semua x  X. Suatu elemen b  X adalah elemen terakhir atau elemen terbesar dari X bila dan hanya bila x  b, untuk semua x  X.

Contoh :

  1. Bilangan bulat positif N dengan urutan biasa mempunyai elemen pertama 1.Himpunan semua bilangan bulat B dengan urutan biasa tak mempunyai elemen terkecil dan terbesar.
  2. Misal X= {a, b, c, d, e} terurut seperti diagram berikut :

 

 

 

 

 

 

Dari gambar diatas, diperoleh bahwa a adalah elemen terakhir, karena a merupakan unsur berikutnya dari tiap unsur yang lain. X tidak mempunyai elemen pertama. d bukan elemen pertama karena d tak mendahului e.

  1. 3.      Elemen Maksimal dan Minimal

Misal X adalah himpunan terurut, suatu elemen a  X adalah maksimal bila dan hanya bila a  x maka x = a, yaitu bila tidak ada elemen berikutnya dari a kecuali elemen itu sendiri. Suatu elemen b  X adalah minimal bila dan hanya bila x  b maka x = b, yaitu bila tidak ada elemen yang mendahului b kecuali elemen itu sendiri.

Contoh:

  1.  Misal X= {a, b, c, d, e} terurut seperti diagram berikut :

 

 

 

 

Maka d dan e adalah elemen-elemen minimal, sedangkan a adalah elemen maksimal.

  1. Misal A={a1, a2, a3, …., am} adalah himpunan terhingga yang terurut total. Maka A mempunyai tepat satu elemen minimal dan satu elemen maksimal yang berturut=turut ditulis oleh min{a1,a2,a3, … ,am} dan maks {a1, a2,a3,…,am}.
  2. 4.         Batas Atas dan Batas Bawah

Misal A himpunan bagian dari terurut parsial X. Elemen m  X adalah batas bawah dari A bila dan hanya bila m  x, untuk semua x  A. Yaitu bila m mendahului tiap-tiap elemen dalam A. Bila sebarang batas bawah dari A didahului oleh setiap batas bawah dari A, maka batas bawah tersebut disebut batas bawah terbesar dari A atau infimum dari A, ditulis Inf (A).

Elemen M  X adalah batas atas dari A bila dan hanya bila x  M, untuk semua x  A, yaitu bila M didahului oleh tiap elemen  dalam A. Bila sebarang batas atas dari A mendahului oleh setiap batas dari A, maka batas atas itu disebut batas atas terkecil dari A atau supremum dari A ditulis sup(A).

A disebut terbatas di atas bila A mempunyai batas atas dan A disebut terbatas di bawah bila A mempunyai batas bawah. Bila A mempunyai batas atas dan batas bawah maka A disebut terbatas.

Contoh :

  1. Misal X={a, b, c, d, e, f, g} adalah terurut oleh diagram berikut :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Misal B={c,d,e}, maka a, b dan c adalah batas-batas atas dari B, dan f adalah batas bawah dari B, sedangkan g bukan batas bawah dari B karena g tidak mendahului d. Selanjutnya c = Sup (B) termasuk kedalam B dan f =Inf (B) bukan anggota dari B.

  1. Misal Q adalah himpunan semua bilangan rasional dan B = {x : x  Q, x>0, 2 < x2 < 3}. Maka B tidak mempunyai tak hingga banyaknya batas atas dan batas bawah, tetapi Inf (B) dan Sup (B) ada.
  2. C.    Bilangan Bulat dan Bilangan Real

Meskipun kita telah mengasumsikan beberapa hal yang familiar dengan himpunan bilangan bulat dan himpunan bilangan real, disini kita secara singkat akan meninjau kembali sifat dari himpunan yang paling penting dalam kelanjutannya. Kita mulai dengan beberapa penulisan konvensi. Untuk selanjutnya, himpunan bilangan asli, atau bilangan bulat positif, biasanya akan dilambangkan dengan Z+, dan himpunan bilangan real akan dilambangkan dengan R.

Salah satu sifat dasar dari Z+ adalah kita akan menggunakannya dalam relasi terurut biasa pada Z+ sebagai sebuah well-ordering. Sifat dari bilangan bulat positif ini adalah dasar dari prinsip induksi matematika, selanjutnya akan dibahas dalam contoh berikut.

Contoh 1:

Untuk setiap n  Z+, selanjutnya P (n) akan menjadi proposisi yang benar atau salah. Jika P (1) benar, dan jika kebenaran dari P (n) mengakibatkan P ( n+1 ) bernilai benar, selanjutnya P (n) benar untuk setiap n  Z+. Untuk membuktikan hal ini, ambil A = {k  Z+ : P (k) salah}. Asumsikan A bukan himpunan kosong, dan ambil n  A sebagai elemen minimum untuk A. mengakibatkan n > 1 karena 1  A; dan P ( n1 ) benar karena n adalah elemen minimum dari A. tetapi, paa kenyataannya bahwa P ( n1 ) benar mengakibatkan P (n) benar, kontradiksi dengan yang diketahui bahwa  n  A. Dengan demikian A adalah himpunan kosong.

Ingat bahwa bilangan real adalah bilangan rasional jika itu adalah hasil bagi m/n dari dua bilangan bulat. Tidak semua bilangan real adalah bilangan rasional (mudah untuk menunjukkan, misalnya, bahwa  bukan bilangan rasional); bilangan real yang bukan bilangan rasional disebut bilangan irasional. Kita akan menggunakan fakta-fakta penting bahwa antara setiap pasangan bilangan rasional yang berbeda ada bilangan irasional, dan antara setiap pasangan bilangan irasional yang berbeda ada bilangan rasional.

Sebuah properti penting dari himpunan bilangan real adalah kenyataan bahwa untuk setiap ACR tidak kosong, jika ada sebuah batas atas untuk A, maka ada sebuah batas atas terkecil untuk A. Demikian pula, jika ada batas bawah untuk A, ada sebuah batas bawah terbesar untuk A.

Contoh 2:

Urutan biasa tidak well-ordering untuk himpunan bilangan real. Untuk A = {x  R : 0 < x < 1}.  Maka A tidak mengandung unsur minimal.

Di dalam Q himpunan bilangan rasional, ada satu himpunan yang memiliki batas atas, tetapi tidak memiliki batas atas terkecil. Untuk A = { q  Q : q < }. Maka  adalah batas atas untuk A, tetapi bukan batas atas terkecil.

  1. D.       Lemma Zorn (Zorn’s Lemma)

Jika himpunan S terurut parsial sehingga setiap rantai/subset di dalamnya memiliki batas atas di dalam himpunan S, maka himpunan S memiliki minimal satu elemen maksimal.

Ilustrasi lemma zorn:

Misalkan S adalah himpunan terurut parsial dan setiap rantai/subset di dalamnya memiliki batas atas. Kemudian, diandaikan himpunan S tidak memiliki elemen maksimal. Selanjutnya diambil sebarang rantai/subset T di himpunan S yang memiliki batas atas awal M di rantai/subset T, yang artinya a ≤ M untuk setiap a T. Dari hipotesis, M bukanlah elemen maksimal di S, yang artinya akan terdapat s S sehingga berlaku M ≤ s dan M ≠ s. Jelas bahwa s  T, karena M ≠ s dan M merupakan batas atas himpunan T. Di pihak lain, juga akan terdapat  s’, s” S sehingga berlaku M ≤ s’, M ≤ s”, … dan M ≠ s’, M ≠ s”, … dan seterusnya, yang berarti pula bahwa rantai/subset T tidak memiliki batas atas.

Kemudian, dapat diperoleh pula bahwa T {s} juga rantai/subset dengan batas atas awal s S (karena M ≤ s). Berdasarkan hipotesis lagi, s S juga bukan elemen maksimal di S, sehingga akan terdapat t, t’, t”, … S yang berakibat s ≤ t, s ≤ t’, s ≤ t”, … dan s ≠ t, s ≠ t’, s ≠ t”, … dan seterusnya, yang berarti pula bahwa rantai/subset T {s} juga tidak memiliki batas atas.

Begitu seterusnya, akan selalu terbentuk rantai/subset baru yang lebih panjang dan tidak memiliki batas atas di rantai/subset tersebut. Dari sini telah timbul kontradiksi, karena menurut hipotesis, setiap rantai/subset di dalam himpunan S memiliki batas atas. Jadi, pengandaian salah, dan haruslah himpunan S memiliki minimal satu elemen maksimal. Dengan demikian, terbukti bahwa jika S adalah himpunan terurut parsial dan setiap rantai/subset di dalamnya memiliki batas atas di S, maka S memiliki minimal satu elemen maksimal.

Contoh:

  1. Sebuah himpunan terurut parsial bisa memiliki banyak elemen maksimal.

Jawab : Misalkan A = {x | x  Z+ } adalah koleksi semua himpunan bagian sejati di himpunan Z+, yang terurut parsial dengan relasi ””. Himpunan Z+ tidak memiliki batas atas, tetapi memiliki elemen maksimal, yaitu himpunan Z+ – {n} untuk suatu n  Z+. Dalam hal ini A memiliki lebih dari satu elemen maksimal.

  1. Sebuah himpunan terurut parsial bisa tidak memiliki elemen maksimal.

Jawab : Misalnya himpunan semua bilangan real R, merupakan himpunan terurut parsial dengan relasi “”, tetapi R tidak memiliki elemen maksimal, karena akan selalu terbentuk rantai/subset baru di R yang lebih panjang dari rantai/subset sebelumnya dan tidak memiliki batas atas.

 

PENUTUP

  1. KARDINAL

kardinal merupakan banyaknya elemen dari suatu himpunan. Himpunan yang equivalen maka mempunyai kardinalitas yang sama

  1. RELASI TERURUT

Suatu relasi dinamakan relasi pengurutan parsial jika mempunyai 3 sifat yaitu : refleksif, anti-simestris dan transitif

  1. BILANGAN REAL DAN BILANGAN BULAT

Bagian dari himpunan bilangan real adalah himpunan bilangan bulat positif. Salah satu  Sifat  dasar dari Zyang  digunakan dalam relasi terurut biasa pada Z+ sebagai well-odering. Sifat ini adalah berasal dari induksi matematika.

  1. LEMMA ZONT

Jika himpunan S terurut parsial sehingga setiap subset (rantai) di dalamnya memiliki batas atas di dalam himpunan S, maka himpunan S memiliki minimal satu elemen maksimal

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DAFTAR PUSTAKA

Wahyudin.1987.Dasar-Dasar Topologi. Tarsito: Bandung.

Arifin, Samsul.2009.http://samsul-arifin.web.id/2009/05/11/lemma-zorn-dan-ilustrasinya/. Diakses pada tanggal 26 september 2012.

Lailyah, Siti.2010.http://blog.sunan-ampelac.id. Diakses pada tanggal 26 september 2012.

 
Tinggalkan komentar

Ditulis oleh pada Desember 28, 2012 in Uncategorized

 

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

 
%d blogger menyukai ini: